Limiti: esercizi svolti

Il calcolo dei limiti è spesso un argomento complesso, soprattutto quando non si ha ben chiaro come procedere nel risolverli!

L’esperienza e l’esercizio sono ottimi alleati per “intuire” quale strada intraprendere.

In questo articolo, ricolveremo alcuni limiti usando il principio di sostituzione degli infinitesimi e lo sviluppo in serie.

  1. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{ln(1-4x)}

    il numeratore si può approssimare all’esponente mentre il denominatore con -4x, quindi, sostituendo opportunamente, abbiamo un limite equivalente:

    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{-4x}=-\frac{1}{2}   wow che velocità! 😉

     

  2. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{1-cos\frac{x}{2}}    procedendo con le sostituzioni, si ha: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{4}\frac{1}{2}}=4  e come si nota è tutto molto veloce!

     

  3. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln cosx}{\sqrt[4]{1+x^2}-1}

    l’approssimazione, o meglio, la sostituzione da fare è: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-(1-cosx)}{\frac{x^2}{4}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{4}}=-\frac{4}{2}=-2

  4. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos2x}{1-cosx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-(1-cosx)+1-cos2x}{1-cosx}

    (ho aggiunto e sottratto 1 e messo il meno in evidenza per ricondurmi alla forma voluta, per la sostituzione)

    =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{x^2}{2}+\frac{4x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{3x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}=3

     

  5. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1+ \frac{x^2}{2}}{(e^{2x}-2)tgx^4}

    in questo caso non procedo con la sostituzione del coseno, poiché avrei sempre 0 al numeratore. Invece uso lo sviluppo in serie del coseno, utilizzando i primi 3 termini della serie:
    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-1+\frac{x^2}{2}}{(2x-1)x^4}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^4}{24(2x-1)x^4}=-\frac{1}{24}

 

Per svolgere i limiti proposti, ho usato queste sostituzioni:

infinitesimi

Spero che questi esercizi possano aiutarti a comprendere meglio i limiti 😉

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Dettagli Maria Grazia Pastore

E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa. E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie. E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL. E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.

Commenti (3)

  1. Roberta
    Rispondi ↓

    Non mi sono assolutamente chiare le verifiche della correttezza dei limiti a partire dalla definizione di limite, per n –> +00, soprattutto per limiti finiti! Mi sembra che sia tutto molto relativo e non riesco a capire qual è il ragionamento da seguire! Ad esempio, quand’è che posso togliere direttamente il valore assoluto senza fare il sistema, oppure se devo sempre prendere solo i risultati positivi, o se devo prendere solo quelli che mi danno n>ne (n con epsilon)… Sono davvero molto confusa! Saprebbe darmi delle regole generali? Magari con degli esempi? Per esempio, se ho il limite di 1/Radicedi n=0, per n che tende a più infinito, a me alla fine viene che n1/e^2. Ma n<0 che faccio, lo ignoro?? Grazie mille!!!

  2. Alfonso Musella
    Rispondi ↓

    E’ l’argomento che mi attira molto, ma non sono ancora in grado di potermi esercitare perché mi ricordano,vagamente, gli anni della mia gioventù; tuttavia spero che col Tuo aiuto, fra alcuni mesi e con la volontà che non mi manca, possa cimentarmi ad esercitare su questi esercizi. Sarebbe molto bello;grazie Prof. Il Tuo diligente alunno Alfonso Musella.

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