Limiti: esercizi svolti

Il calcolo dei limiti è spesso un argomento complesso, soprattutto quando non si ha ben chiaro come procedere nel risolverli!

L’esperienza e l’esercizio sono ottimi alleati per “intuire” quale strada intraprendere.

In questo articolo, ricolveremo alcuni limiti usando il principio di sostituzione degli infinitesimi e lo sviluppo in serie.

  1. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{ln(1-4x)}

    il numeratore si può approssimare all’esponente mentre il denominatore con -4x, quindi, sostituendo opportunamente, abbiamo un limite equivalente:

    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{-4x}=-\frac{1}{2}

       wow che velocità! 😉

     

  2. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{1-cos\frac{x}{2}}    procedendo con le sostituzioni, si ha: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{4}\frac{1}{2}}=4  e come si nota è tutto molto veloce!

     

  3. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln cosx}{\sqrt[4]{1+x^2}-1}

    l’approssimazione, o meglio, la sostituzione da fare è: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-(1-cosx)}{\frac{x^2}{4}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{4}}=-\frac{4}{2}=-2

  4. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos2x}{1-cosx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-(1-cosx)+1-cos2x}{1-cosx}

    (ho aggiunto e sottratto 1 e messo il meno in evidenza per ricondurmi alla forma voluta, per la sostituzione)

    =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{x^2}{2}+\frac{4x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{3x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}=3

     

  5. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1+ \frac{x^2}{2}}{(e^{2x}-2)tgx^4}

    in questo caso non procedo con la sostituzione del coseno, poiché avrei sempre 0 al numeratore. Invece uso lo sviluppo in serie del coseno, utilizzando i primi 3 termini della serie:
    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-1+\frac{x^2}{2}}{(2x-1)x^4}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^4}{24(2x-1)x^4}=-\frac{1}{24}

 

Per svolgere i limiti proposti, ho usato queste sostituzioni:

infinitesimi

Spero che questi esercizi possano aiutarti a comprendere meglio i limiti 😉

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Dettagli Maria Grazia Pastore

E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa. E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie. E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL. E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.

Commenti (3)

  1. Roberta

    Non mi sono assolutamente chiare le verifiche della correttezza dei limiti a partire dalla definizione di limite, per n –> +00, soprattutto per limiti finiti! Mi sembra che sia tutto molto relativo e non riesco a capire qual è il ragionamento da seguire! Ad esempio, quand’è che posso togliere direttamente il valore assoluto senza fare il sistema, oppure se devo sempre prendere solo i risultati positivi, o se devo prendere solo quelli che mi danno n>ne (n con epsilon)… Sono davvero molto confusa! Saprebbe darmi delle regole generali? Magari con degli esempi? Per esempio, se ho il limite di 1/Radicedi n=0, per n che tende a più infinito, a me alla fine viene che n1/e^2. Ma n<0 che faccio, lo ignoro?? Grazie mille!!!

  2. Alfonso Musella

    E’ l’argomento che mi attira molto, ma non sono ancora in grado di potermi esercitare perché mi ricordano,vagamente, gli anni della mia gioventù; tuttavia spero che col Tuo aiuto, fra alcuni mesi e con la volontà che non mi manca, possa cimentarmi ad esercitare su questi esercizi. Sarebbe molto bello;grazie Prof. Il Tuo diligente alunno Alfonso Musella.

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