Non sarebbe sorprendente sapere che esiste uno strumento potente che ti consente di dar prova della validità di una proposizione per infiniti casi, senza doverla dimostrare per tutti?? Ebbene, questo strepitoso strumento è il Principio di Induzione.

Quando si ha la necessità di provare che una certa proprietà è vera per ogni intero, ovviamente non lo si può fare dimostrando tutte le proprietà in successione! 🙂 Ecco che il principio di induzione ci viene in aiuto.

Come?

Diciamolo prima in modo formale e dopo ne evidenzieremo la praticità con degli esempi.

Sia   una successione di proposizioni tali che:

1.    (base di induzione);
2.   (ipotesi d’induzione)
   
   

Questa è nota come Prima forma del Principio di Induzione.

Cosa significa?

La base di induzione – passaggio fondamentale – ci consente di verificare che la proposizione è vera per un certo elemento e pertanto può “partire” la dimostrazione con le usuali ipotesi e tesi.

Vediamo qualche esercizio…

Dimostrare che n(n+1) è pari per ogni n maggiore o uguale a 1.

Partiamo subito col provare la base (non si trascuri questo passaggio o c’è il rischio di dimostrare cose assurde 🙂 ):

consideriamo n= 1 e verifichiamo se la proposizione è vera: 1(2)=2, cioè 2=2 ed è pari.

C’è la base di induzione, facciamo la nostra ipotesi.

Ipotesi: supponiamo che sia vero per un certo m maggiore o uguale a 1, cioè supponimao che m(m+1) sia pari.

Tesi: la proprietà è vera per il successivo m+1, cioè (m+1)(m+2) è vero
Osservazione: nella tesi è stato aggiunto 1 ad entrambi i termini occorrenti.

Ora si tratta solo di fare delle verifiche. Calcoliamo:

  (in pratica abbiamo scritto 3m come m+2m in modo da evidenziare l’ipotesi induttiva). Ora raggruppiamo così: .

Si vede chiaramente che il primo addendo è ciò che l’ipotesi ci dice essere vero, il secondo è stato scritto come multiplo di 2, quindi è vero che è pari; in definitiva la somma è pari e pertanto la proposizione è valida per tutti gli n!!

Dimostrare che 11 divide 12 elevato a n, meno 1 per ogni intero.

Base: per n=1 si ha 11|12-1, cioè 11 divide 11 (| è il simbolo di divide).

Ipotesi: supponiamo che sia vera la proposizione per un certo m, dunque 

Tesi: proviamo che vale per m+1, cioè 

Calcoliamo: 

(si noti che 12 è stato scritto come 11+1)  

per ipotesi induttiva 11 divide il secondo addendo, ma divide anche il primo e dunque divide la loso somma.

Un richiamo:

Dire che a divide b significa che b si può esprimere come prodotto di a per un opportuno numero (con a non nullo).

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