Il principio di Induzione

Non sarebbe sorprendente sapere che esiste uno strumento potente che ti consente di dar prova della validità di una proposizione per infiniti casi, senza doverla dimostrare per tutti?? Ebbene, questo strepitoso strumento è il Principio di Induzione.

 

Quando si ha la necessità di provare che una certa proprietà è vera per ogni intero, ovviamente non lo si può fare dimostrando tutte le proprietà in successione! 🙂 Ecco che il principio di induzione ci viene in aiuto.

 

Come?

 

Diciamolo prima in modo formale e dopo ne evidenzieremo la praticità con degli esempi.

Sia (P_{n})_{n\in \mathbb{N}}

  una successione di proposizioni tali che:
  1.  \text{esiste}\: \bar{n}\in \mathbb{N}_{0}\text {},\: con}\: P_{\bar{n}}\: \text{vera}  (base di induzione);
  2. ip indut  (ipotesi d’induzione)

    \text{Allora}\: \: P_{n}\: \: \text{è vera per ogni}\: \: n\geq \bar{n}

Questa è nota come Prima forma del Principio di Induzione.

 

Cosa significa?

 

La base di induzione – passaggio fondamentale – ci consente di verificare che la proposizione è vera per un certo elemento e pertanto può “partire” la dimostrazione con le usuali ipotesi e tesi.

 

Vediamo qualche esercizio…

 

Dimostrare che n(n+1) è pari per ogni n maggiore o uguale a 1.

Partiamo subito col provare la base (non si trascuri questo passaggio o c’è il rischio di dimostrare cose assurde 🙂 ):

consideriamo n= 1 e verifichiamo se la proposizione è vera: 1(2)=2, cioè 2=2 ed è pari.

C’è la base di induzione, facciamo la nostra ipotesi.

Ipotesi: supponiamo che sia vero per un certo m maggiore o uguale a 1, cioè supponimao che m(m+1) sia pari.

Tesi: la proprietà è vera per il successivo m+1, cioè (m+1)(m+2) è vero
Osservazione: nella tesi è stato aggiunto 1 ad entrambi i termini occorrenti.

Ora si tratta solo di fare delle verifiche. Calcoliamo:

(m+1)(m+2)= m^{2}+3m+2

\: \: \text{riscriviamo opportunamente come} \: \: m^{2}+2m+m+2

  (in pratica abbiamo scritto 3m come m+2m in modo da evidenziare l’ipotesi induttiva). Ora raggruppiamo così: m(m+1)+2(m+1).

Si vede chiaramente che il primo addendo è ciò che l’ipotesi ci dice essere vero, il secondo è stato scritto come multiplo di 2, quindi è vero che è pari; in definitiva la somma è pari e pertanto la proposizione è valida per tutti gli n!!

 

 

Dimostrare che 11 divide 12 elevato a n, meno 1 per ogni intero.

Base: per n=1 si ha 11|12-1, cioè 11 divide 11 (| è il simbolo di divide).

Ipotesi: supponiamo che sia vera la proposizione per un certo m, dunque  11|12^{m} -1

Tesi: proviamo che vale per m+1, cioè  11|12^{m+1} -1

Calcoliamo: 12^{m+1} -1= 12^{m}\cdot12 -1=12^{m}(11+1)-1=

(si noti che 12 è stato scritto come 11+1)  =11\cdot 12^{m}+12^{m}-1

per ipotesi induttiva 11 divide il secondo addendo, ma divide anche il primo e dunque divide la loso somma.

 

Un richiamo:

Dire che a divide b significa che b si può esprimere come prodotto di a per un opportuno numero (con a non nullo).

 

 

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Maria Grazia Pastore

Dettagli Maria Grazia Pastore

E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa. E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie. E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL. E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.

Commenti (3)

  1. Avatar Alfonso Musella

    Il principio di induzione ritengo che sia un concetto innovativo e perciò interessante.Penso che chi segue corsi universitari di matematica dovrebbe essere molto interessato a tali innovazioni.

    1. Avatar Claudio

      E’ molto interessante da un punto di vista logico ma non sempre facilmente dimostrabile.

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