Formule goniometriche
In questa sezione ci occuperemo soltanto di elencare le formule sugli angoli, partendo dai valori delle funzioni di angoli noti per finire alle formule di prostaferesi.
| 0°`-=`360° | 18° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | |
| sen | 0 | `(sqrt5-1)/4` | `1/2` | `sqrt2/2` | `sqrt3/2` | 1 | 0 | -1 |
| cos | 1 | `sqrt ( 10+2sqrt5 ) / 4` | `sqrt3/2 | `sqrt2/2` | `1/2` | 0 | -1 | 0 |
| tg | 0 | `sqrt {( (5-2sqrt5 ) / 5 )} ` | `sqrt3/3` | 1 | `sqrt3` | N.E. | 0 | N.E |
Angoli complementari
`sin(90@-alpha) = cos alpha`
`cos(90@-alpha) = sin alpha`
`tg(90@-alpha) = cotg alpha`
Angoli anticomplementari ( che differiscono di un angolo retto)
`sin(90@+alpha) = cos alpha`
`cos(90@+alpha) = -sin alpha`
`tg(90@+alpha) = -cotg alpha`
Angoli supplementari
`sin(180@-alpha) = sin alpha`
`cos(180@-alpha) = -cos alpha`
`tg(180@-alpha) = -tg alpha`
Angoli antisupplementari (che differiscono di un angolo piatto)
`sin(180@+alpha) = -sin alpha`
`cos(180@+alpha) = -cos alpha`
`tg(180@+alpha) = tg alpha`
Angoli opposti ed esplementari
`sin(- alpha) = sin(360@-alpha) = -sin alpha`
`cos(-alpha) = cos(360@-alpha) = cos alpha`
`tg(-alpha) = tg(360@-alpha) = -tg alpha`
Formule di addizione e sottrazione
| `sin(alpha+beta) = sinalpha cosbeta + cosalpha sinbeta` | `sin(alpha-beta) = sinalpha cosbeta – cosalpha sinbeta` |
| `cos(alpha+beta) = cosalpha cosbeta – sinalpha sinbeta` | `cos(alpha-beta) = cosalpha cosbeta + sinalpha sinbeta` |
| `tg(alpha+beta) = (tgalpha +tgbeta)/(1-tgalpha tgbeta)` | `tg(alpha-beta) = (tgalpha-tgbeta)/(1+tgalpha tgbeta)` |
Formule di duplicazione
(si ottengono dalle formule di addizione, ponendo `alpha=beta`)
`sin 2alpha = 2sinalpha cosalpha`
`cos 2alpha = cos^2alpha-sin^2alpha`
`tg 2alpha = (2tgalpha)/(1-tg^2alpha)`
Formule di bisezione
`sin (alpha/2) = +-sqrt {((1-cosalpha) / 2 )} `
`cos (alpha/2) = +-sqrt {((1+cosalpha) / 2) } `
`tg (alpha/2) = +-sqrt {((1-cosalpha) / (1+cosalpha) )} `
Formule parametriche
poniamo `tg(alpha/2) = t` e supponiamo che `alpha!=(1+2k)180@` valore per cui la tangente si annulla. Allora si avrà:
`sin alpha = (2t)/(1+t^2)`
`cos alpha = (1-t^2)/(1+t^2)`
Formule di Werner
(consentono di trasformare prodotti in somme di funzioni goniometriche)
`sinalpha sinbeta = 1/2 [cos(alpha-beta) – cos(alpha+beta)]`
`cosalpha cosbeta = 1/2[cos(alpha+beta) + cos(alpha-beta)]`
`sinalpha cosbeta = 1/2[sin(alpha+beta) + sin(alpha-beta)]
Formule di prostaferesi
(consentono di trasformare somme in prodotti di funzioni goniometriche)
`sinp+sinq = 2 sin((p+q)/2) cos((p-q)/2)`
`sinp-sinq = 2 cos((p+q)/2) sin((p-q)/2)`
`cosp+cosq = 2 cos((p+q)/2) cos((p-q)/2)`
`cosp-cosq = 2 sin((p+q)/2) sin((p-q)/2)`
Esempi
`sin40@+sin30@= 2sin35@cos5@`
`sin57@-cos20@= sin57@-sin(90@-70@)= 2cos63@30 sin(-6@30)`
`sin15@cos63@= 1/2[sin78@+sin(-48@)] = 1/2(sin78@-sin48@)`
N.B. quando c’è una scrittura tipo `sqrt {1-cosalpha}/ {1+cosalpha} ` si vuole intendere che tutto l’argomento della parentesi è sotto radice.
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Maria Grazia Pastore
E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa.
E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie.
E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL.
E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.
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