Equazioni di secondo grado: parabola
Equivalentemente, la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco e da una retta fissa, non passante per il fuoco, detta direttrice (d).
In base alla definizione di parabola possiamo passare alla sua equazione canonica:
sia P(x,y) un punto generico del piano, d la direttrice, F il fuoco. Allora:
`bar(PF) = d(P,d) = bar(PH)`
Sia `bar(FQ)` la distanza del fuoco dalla direttrice e sia `bar(FQ) = 2p`; allora le coordinate del fuoco sono F(0,p).
Perciò, `bar(PF) = sqrt(x^2+(y-p)^2)` e `bar(PH)= |y+p|` (poichè P e H hanno la stessa ascissa).
Uguagliando si avrà: `sqrt(x^2+(y-p)^2) = |y+p|`.
Con opportuni calcoli si perviene all’espressione: `y=1/(4p) x^2`. Posto `a = 1/(4p)` diventa: y=ax2 che è l’equazione di una parabola passante
per l’origine degli assi, avente l’asse y come asse di simmetria.
Notoriamente, l’equazione più generale della parabola è
`y = ax^2+bx+c`
il cui vertice ha coordinate `V= (-b/(2a) , -Delta/(4a))
il cui asse di simmetria ha equazione `x= -b/(2a)` (è una retta || asse y)
il cui fuoco ha coordinate `F = (-b/(2a) , (1-Delta)/(4a))`
la cui direttrice ha equazione `y = -1/(4a) – Delta/(4a)` (è una retta || asse x)
Se il coefficiente `a>0` la parabola volge la concavità verso l’alto e perciò il vertive è il suo punto con minima ordinata.
Se il coefficiente `a<0` la parabola volge la concavità verso il basso e pertanto il vertice è il suo punto con massima ordinata.
Inoltre, minore sarà |a| , maggiore risulterà l’apertura della parabola.
Osservazione:
la parabola può anche trovarsi “orizzontalmente” nel piano; per cui dovremo “scambiare” gli assi coordinati e di conseguenza le ascisse con le ordinate.
Ad esempio, se la parabola ha l’asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse, allora il suo vertice sarà
`V = – Delta/(4a) , -b/(2a)` ed il suo asse di simmetria avrà equazione `y = -b/(2a)` e così via per le altre formule.
A chi potrebbe piacere questo articolo?
Maria Grazia Pastore
E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa.
E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie.
E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL.
E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.
Sei stanco di studiare troppo e senza profitto?
Migliora le tue capacità di apprendimento!
L’ebook (.pdf) è completamente GRATUITO e si legge velocemente, quindi potrai iniziare subito ad applicare i preziosi consigli. Inserisci la tua email così da ricevere la guida nella tua casella di posta elettronica, inoltre riceverai anche altri nuovi consigli nei prossimi giorni.
NO SPAM! Potrai cancellarti con un click.
