Come per le funzioni di una variabile reale, anche per quelle in due o pià variabili è necessario e utile studiare il dominio, cioè individaure in quali regioni del piano la funzione è definita.
Per far questo è opportuno ricordare alcune regole generali:
- una funzione razionale fratta non deve avere denominatore nullo;
- radici di indici dispari esistono sempre (tranne per eventuali valori che annullano il denominatore), radici di indice pari esistono per radicando maggiore o uguale a zero;
- la funzione logaritmo esiste quando il suo argomento è positivo (>) e la base è positiva e diversa da 1;
- le funzioni potenza a base reale ed esponente reale esistono quando la base è positiva;
- seno e coseno esitono per ogni x reale; la tangente per
, la cotangente per
;
- arcoseno e arcocoseno sono definite quando l’argomento è compreso tra -1 e 1
(); arcotangente e arcocotangente esistono per ogni x reale.
Bene, come si “traducono” queste condizioni per funzioni in 2 variabili??
Vediamolo con degli esempi!
-
Si tratta di una radice quadrata (indice pari) quindi la Condizione di Esistenza (C.E.) è
L’equazione x2 + y2 =4 rappresenta il cerchio di centro l’origine e raggio 2; poichè a noi serve
, vuol dire che dobbiamo considerare i punti del piano che hanno distanza dall’origine minore del raggio, cioè la parte interna del cerchio, compresa la circonferenza (è minore uguale): -
Trattandosi di un logaritmo (base naturale) il suo argomento deve essere positivo:
Osserviamo che x=y è la bisettrice del I-III quadrante e che la regione da considerare è quella formata dai punti la cui ascissa (x) è maggiore dell’ordinata (y): ad esempio, il punto (1,0) soddisfa questa richiesta e tale punto si trova sotto la retta. Questo ci dice che la regione x>y è quella che contiene tale punto, quindi tutta la zona sotto la retta, privata della retta stessa, perché c’è solo la disuguaglianza stretta: -
La funzione arcocoseno esiste quando l’argomento è compreso tra -1 e 1, quindi per la C.E. imponiamo
Sono due iperboli, la prima di vertici
e asintoti; la seconda di vertici
e asintoti
.
Ovviamente questi sono solo alcuni dei casi che possono presentarsi… 🙂
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