Dominio di funzioni di due variabili

Come per le funzioni di una variabile reale, anche per quelle in due o pià variabili è necessario e utile studiare il dominio, cioè individaure in quali regioni del piano la funzione è definita.

 

Per far questo è opportuno ricordare alcune regole generali:

  • una funzione razionale fratta non deve avere denominatore nullo;
  • radici di indici dispari esistono sempre (tranne per eventuali valori che annullano il denominatore), radici di indice pari esistono per radicando maggiore o uguale a zero;
  • la funzione logaritmo esiste quando il suo argomento è positivo (>) e la base è positiva e diversa da 1;
  • le funzioni potenza a base reale ed esponente reale esistono quando la base è positiva;
  • seno e coseno esitono per ogni x reale; la tangente per x\neq \frac{\pi }{2}+k \pi,\, \, k\in \mathbb{Z}, la cotangente perx\neq k \pi,\, \, k\in \mathbb{Z};
  • arcoseno e arcocoseno sono definite quando l’argomento è compreso tra -1  e 1
    (-1\leq x\leq 1); arcotangente e arcocotangente esistono per ogni x reale.

 

Bene, come si “traducono” queste condizioni per funzioni in 2 variabili??

 

Vediamolo con degli esempi!

  1. f(x,y)=\sqrt{4-x^2 -y^2}

    Si tratta di una radice quadrata (indice pari) quindi la Condizione di Esistenza (C.E.) è

    4-x^2 -y^2\geq 0\: \Leftrightarrow\: x^2+y^2\leq 4

    L’equazione x2 + y2 =4 rappresenta il cerchio di centro l’origine e raggio 2; poichè a noi serve x^2+y^2\leq 4

    , vuol dire che dobbiamo considerare i punti del piano che hanno distanza dall’origine minore del raggio, cioè la parte interna del cerchio, compresa la circonferenza (è minore uguale):
    1
  2. f(x,y)=ln(x-y)

    Trattandosi di un logaritmo (base naturale) il suo argomento deve essere positivo: x-y>0\: \Leftrightarrow \: x>y


    Osserviamo che x=y è la bisettrice del I-III quadrante e che la regione da considerare è quella formata dai punti la cui ascissa (x) è maggiore dell’ordinata (y): ad esempio, il punto (1,0) soddisfa questa richiesta e tale punto si trova sotto la retta. Questo ci dice che la regione x>y è quella che contiene tale punto, quindi tutta la zona sotto la retta, privata della retta stessa, perché c’è solo la disuguaglianza stretta:

    2

  3. f(x,y)=arccos(x^2-2y^2)

    La funzione arcocoseno esiste quando l’argomento è compreso tra -1 e 1, quindi per la C.E. imponiamo

    -1\leq x^2-2y^2\leq 1\: \:\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x^2-2y^2\\ x^2-2y^2\leq 1 \end{matrix}\right.\: \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-2y^2\geq -1\\ x^2-2y^2\leq 1 \end{matrix}\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right.

    Sono due iperboli, la prima di vertici (0;\pm \frac{\sqrt{2}}{2})

    e asintoti  y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x ; la seconda di vertici (\pm 1;0) e asintoti y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x.

    Le singole regioni da considerare sono:
    3 4

    che insieme limitano la regione data in figura:
    5

Ovviamente questi sono solo alcuni dei casi che possono presentarsi… 🙂

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Grazie 🙂

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Dettagli Maria Grazia Pastore

E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa. E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie. E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL. E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.

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