Come per le funzioni di una variabile reale, anche per quelle in due o pià variabili è necessario e utile studiare il dominio, cioè individaure in quali regioni del piano la funzione è definita.

Per far questo è opportuno ricordare alcune regole generali:

• una funzione razionale fratta non deve avere denominatore nullo;
• radici di indici dispari esistono sempre (tranne per eventuali valori che annullano il denominatore), radici di indice pari esistono per radicando maggiore o uguale a zero;
• la funzione logaritmo esiste quando il suo argomento è positivo (>) e la base è positiva e diversa da 1;
• le funzioni potenza a base reale ed esponente reale esistono quando la base è positiva;
• seno e coseno esitono per ogni x reale; la tangente per , la cotangente per;
• arcoseno e arcocoseno sono definite quando l’argomento è compreso tra -1  e 1
  (); arcotangente e arcocotangente esistono per ogni x reale.

Bene, come si “traducono” queste condizioni per funzioni in 2 variabili??

Vediamolo con degli esempi!

1. 

   Si tratta di una radice quadrata (indice pari) quindi la Condizione di Esistenza (C.E.) è

   

   L’equazione x² + y² =4 rappresenta il cerchio di centro l’origine e raggio 2; poichè a noi serve

   , vuol dire che dobbiamo considerare i punti del piano che hanno distanza dall’origine minore del raggio, cioè la parte interna del cerchio, compresa la circonferenza (è minore uguale):
   
2. 

   Trattandosi di un logaritmo (base naturale) il suo argomento deve essere positivo:

   
   Osserviamo che x=y è la bisettrice del I-III quadrante e che la regione da considerare è quella formata dai punti la cui ascissa (x) è maggiore dell’ordinata (y): ad esempio, il punto (1,0) soddisfa questa richiesta e tale punto si trova sotto la retta. Questo ci dice che la regione x>y è quella che contiene tale punto, quindi tutta la zona sotto la retta, privata della retta stessa, perché c’è solo la disuguaglianza stretta:

   

3. 

   La funzione arcocoseno esiste quando l’argomento è compreso tra -1 e 1, quindi per la C.E. imponiamo

   

   Sono due iperboli, la prima di vertici

   e asintoti  ; la seconda di vertici e asintoti .

   Le singole regioni da considerare sono:
   

   che insieme limitano la regione data in figura:
   

Ovviamente questi sono solo alcuni dei casi che possono presentarsi… 🙂

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