Disequazioni con valore assoluto: esercizi svolti

Alcuni studenti trovano difficoltà a svolgere (soprattutto) le disequazioni in valore assoluto, specialmente quando i moduli sono di più oppure annidati. Per questo motivo ho svolto due tipologie di esercizi.

 

Ricordiamo cosa significa considerare il modulo o valore assoluto di un numero/funzione:

 

 

il che equivale a lasciare la quantità racchiusa nel modulo così com’è quando consideriamo la stessa positiva e di cambiarvi il segno quando valutiamo il caso negativo.

 

I) Risolviamo il seguente esercizio:

 

i due valori assoluti presenti si “influenzano” a vicenda. Difatti, dovremmo considerare i casi in cui sono entrambi positivi, entrambi negativi, uno positivo e l’altro negativo.

 

Ma questo si “traduce” brevemente dicendo che sono concordi (positivo/positivo o negativo/negativo) o discordi (positivo/negativo o negativo/positivo).

 

Come calcolarlo??

 

Con lo studio del segno! Quindi, seguiamo questa strada di risoluzione:

il cui grafico risolutivo è:

 

Allora i casi da studiare sono tre: quando x è compresa tra -2 e 3, quando è minore di -2 e quando è maggiore di 3.

\left\{\begin{matrix} -2<x<3\\ x+2+3-x>2x+4 \end{matrix}\right.\: \: \cup \: \: \left\{\begin{matrix} x<-2\\ -x-2+3-x>2x+4 \end{matrix}\right.\: \: \cup \\ \newline \left\{\begin{matrix} x>3\\ x+2+x-3>2x+4 \end{matrix}\right.

 

 Allora, risolvendo abbiamo:

 

\left\{\begin{matrix} -2<x<3\\ x<\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\: \: \cup \: \: \left\{\begin{matrix} x<-2\\ x<-\frac{3}{4} \end{matrix}\right.\: \: \cup \: \: \left\{\begin{matrix} x>3\\ 0>5 \end{matrix}\right.

 

Ci resta solo da trovare la soluzione finale e la otterremo unendo (in accordo col simbolo usato tra i sistemi) le soluzioni intermedie trovate. In definitiva, la disequazione è risolta per x<1/2.

 

 

II) Risolviamo il seguente esercizio:

E’ evidente che non possiamo sciogliere il modulo esterno se prima non risolviamo quello interno, perciò si inizia da quello più interno. Abbiamo compreso che la distinzione è sempre la stessa, quando -cioè- la quantità contenuta nel valore assoluto è positiva o negativa. Otteniamo i primi sistemi partendo da |x|:

 

 

Ed ora dobbiamo fare la distinzione per i moduli rimasti: per x positivo o nullo, dobbiamo considerare (5-x) una volta positivo ed una volta negativo; per x negativo, dobbiamo considerare (5+x) una volta positivo ed una negativo. Pertanto avremo:

 

 

Risolviamo ordinatamente i sistemi ottenuti:

 

  • Il sistema (I) è soddisfatto per 0<x<3, 0 incluso;
  • il (II) per x>7;
  • il (III) per -3<x<0;
  • il (IV) per x<-7

L’unione di tutte queste soluzioni ci dà quella definitiva per la disequazione di partenza, ed è

 

P.S. Sarò lieta di rispondere alle tue domande e ti sarò grata se mi segnalerai eventuali errori che possono sempre capitare… 🙂
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Dettagli Maria Grazia Pastore

E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa. E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie. E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL. E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.

Commenti (12)

  1. Davide

    Prima della soluzione finale mi e’tutto chiaro perché ho preso le linee comuni e continue tra i due intervalli “per intervalli che non puoi scrivere in forma unica”intendi che alla fine le quattro soluzioni non trovano intervalli comuni tra loro e quindi hai preso le altre soluzioni?grazie mille anticipatamente e scusi ancora il disturbo 😀

    1. Le soluzioni non possono essere scritte come unico intervallo, ma come unione di più intervalli 🙂 …ma attenzione: tutti questi sono soluzioni, quindi non posso escluderle. (Non ho preso le “altre” soluzioni, ma TUTTE) 😀

    1. Ciao Davide,
      per capire meglio ti suggerisco di riportare su un grafico i risultati che ho scritto, prima della soluzione finale: così facendo ti sarà più chiaro che – dovendo unire le soluzioni – devo considerare intervalli che non posso scrivere in forma unica, quindi mi restano le soluzioni minori di -7, quelle comprese tra -3 e 3 (qui lo 0 fa da “ponte” e posso unificare) e quelle maggiori di 7.

      Quindi, non ho considerato solo le soluzioni negative. 🙂
      Spero sia chiaro… altrimenti puoi riscrivermi.
      Buona giornata.

  2. Tonia Barile

    Riguardo al commento precedente c’è stato un errore, le disequazioni sono le seguenti
    |x-|x-2||1

    |x-|x||/|x-1|<1

    Grazie.

    1. Mi scuso per il ritardo nella risposta, ma sono troppo impegnata per dare una risposta dettagliata. Mi dispiace davvero, ma ti invito a visitare gli altri articoli che ho postato e di visitare anche il sito formazionesalerno.com per cui ho scritto.

  3. Livia

    |3-2x/x+|<1 Salve ho trovato questo sito per caso… mi servirebbe un aiuto non riesco a capire come si fa a svolgere questa disequazione fratta con valore assoluto. Grazie in anticipo attendo una risposta al più presto

    1. Forse c’è un errore di scrittura, ma supponiamo che sia |(3-2x)/x|<1:
      devi considerare il caso in cui la quantità dentro il modulo sia maggiore o uguale a zero, in tal caso risolvi la disequazione senza il modulo;
      quando studi il caso in cui la quantità in modulo è minore di zero, risolvi la disequazione in cui cambi il segno alla frazione, mantenendo il verso <1.

      In pratica risolvi due sistemi e alla fine devi fare l'unione dei risultati ottenuti.
      Ciao

  4. Roberta

    Salve!
    Ho trovato questo sito per caso e spero di ricevere un aiuto, perché sono disperata. Frequento il liceo classico e sono sempre andata bene in matematica, pur non avendo ottime basi e non essendo particolarmente portata, ma ora, giunta all’ultimo anno, mi ritrovo ad avere grosse difficoltà sui logaritmi e su vari altri argomenti. In particolare (dato che chiederle tutto sarebbe sfacciato e impossibile forse) le chiedo se può aiutarmi con le disequazioni contenenti valori assoluti. Ad esempio, ho questa:
    |1/x – 2/3| <= (minore o uguale) 1

    So che le sembrerà gravissimo che io non la sappia svolgere, perché probabilmente è piuttosto semplice… Ma non riesco a capire (perché nessuno si prende la briga di spiegarmelo) da dove partire e come procedere, se devo fare due sistemi, fare poi il grafico delle soluzioni, includere anche le soluzioni dei denominatori… Insomma, le sarei davvero grata se potesse farmi vedere lo svolgimento… DAVVERO MOLTO GRATA!!!

    Grazie mille in anticipo… E buona serata!

  5. Paolo

    Ciao, sto facendo un ripasso delle disequazioni con valore assoluto dato che non le mastico molto bene a quanto pare…
    Ho provato a fare questo esercizio:
    |x^2 -9| + |x-3| <= 0
    L'ho fatto con il procedimento che anche tu spieghi quello dello studio del segno e poi risolvere i vari sistemi trovati, ho la soluzione dell'esercizio che dovrebbe essere x=3 ma a me non viene.
    Volevo avere una conferma che la soluzione sia questa, perchè a me viene in altro modo…

    1. Ciao Paolo,
      la disequazione col segno minore o uguale a zero è risolta per x=3.
      Quando fai lo studio del segno, ottieni tre intervalli: per x minore o ugulae di -3, il primo è positivo e il secondo negativo; tra -3 e 3 sono entrambi negativi, per x maggiore o uguale a 3 sono entrambi positivi.
      Ricorda che quando consideri l’intervallo in cui uno dei due binomi è negativo, devi cambiare il segno.
      Quindi hai 3 sistemi da risolvere e alla fine devi fare l’unione delle soluzioni, che ti dà x=3.

      Prova a controllare i calcoli 🙂
      Ciao

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