Come risolvere gli esercizi di matematica discreta (algebra): i segreti del ragionamento

Ciao,
in questo articolo desidero darti un input su come eseguire alcuni esercizi di algebra – matematica discreta, imparando a ragionare!
Partiamo da alcuni esercizi basilari, sugli insiemi.

1) Si dimostri che $S\cap (T\setminus V)=(S\cap T)\setminus (S\cap V )$

Se riusciamo a provare che l’espressione a primo membro è uguale a quella a secondo membro, abbiamo provato l’uguaglianza.
Consideriamo un elemento che appartiene all’insieme indicato a primo membro ed esplicitiamo cosa vuol dire:

${\color{Magenta} x\in S\cap (T\setminus V)}\Leftrightarrow x\in S\; e\; x\in(T\cap V)\Leftrightarrow x\in S \; e\; x\in T\;e\; x\notin V \Leftrightarrow x\in S\cap T \;e\; x\notin S\cap V\Leftrightarrow {\color{Magenta} x\in (S\cap T)\setminus (S\cap V)}$

Dunque, abbiamo provato che un elemento del primo membro sta anche nel secondo, ciò vuol dire che gli insiemi sono uguali.
Osserviamo che il passaggio cruciale è stato dire che $x\notin S\cap V$ : come è stato possibile?

Ragioniamo: se un elemento non appartiene ad un certo insieme (nel nostro caso V) non potrà appartenere nemmeno alla sua intersezione con un qualunque altro insieme, (nel nostro caso S, in particolare, perchè è quello che ci serve provare) per definizione stessa di intersezione.

2) Si dimostri che $(S\setminus T)\cap V=(S\cap V)\setminus (T\cap V)$

Come per l’esercizio precedente partiamo da un elemento dell’ insieme del primo membro e proveremo che appartiene all’insieme del secondo membro.

${\color{Magenta} x\in(S\setminus T)\cap V}\Leftrightarrow x\in(S\setminus T)\quad e\quad x\in V \Leftrightarrow x\in S \;e\>x\notin T\;e\;x\in V \Leftrightarrow x\in S \;e \; x\in V \;e \; x\notin T\;e \;x \in V \Leftrightarrow x\in (S\cap V)\; e \; x\notin (T\cap V) \Leftrightarrow {\color{Magenta} x\in (S\cap V)\setminus (T\cap V)}$

3) Provare che $(S\setminus T)\setminus V = S\setminus (T\cup V)$

Prestiamo attenzione perchè compaiono operazioni diverse nei due membri dell’uguaglianza.

$\inline {\color{Magenta} x\in (S\setminus T)\setminus V} \Leftrightarrow x\in (S\setminus T)\;e\;x\notin V\Leftrightarrow x\in S\;e\;x\notin T \;e\;x\notin V\Leftrightarrow \text{(per l'associatività dell'intersezione)}\; x\in S \; e\;(x\notin T\;e\;x\notin V) \Leftrightarrow x\in S \;e\; x\notin (T \cup V)\; \Leftrightarrow {\color{Magenta} x\in S\setminus (T\cup V)}$

Chiaramente se un elemento non appartiene a due insiemi non apparterrà nemmeno alla loro unione, per definizione di unione, ecco perchè abbiamo accorpato scrivendo $\inline x\notin (T\cup V)$ .

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Maria Grazia Pastore

E’ consulente all'apprendimento e Docente di Matematica Creativa.

E’ ideatrice del “Metodo MG” per l’apprendimento pratico e facilitato delle materie scolastiche e universitarie.

E’ laureata in matematica indirizzo applicativo, orientamento logico-informatico. Ha svolto la tesi e studi sulla costruzione di curve e superfici nella grafica computerizzata con Open GL.

E’ autrice di diversi ebook e video corsi di matematica e di tecniche di apprendimento per studenti e insegnanti. Scrive per diverse riviste scientifiche e siti. Tra i suoi diversi incarichi ha offerto la sua consulenza ad aziende e professionisti.

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